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市场风险测度方法总结

归档日期:08-15       文本归类:置信测度      文章编辑:爱尚语录

  市场风险测度方法总结_天文/地理_自然科学_专业资料。Lecture 4 市场风险测度:VaR方法 在险价值的界定 ? VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的 下跌风险的方法。 ? VaR,描述的是在给定的概率水平下(即所 谓的“置信水平”),在一

  Lecture 4 市场风险测度:VaR方法 在险价值的界定 ? VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的 下跌风险的方法。 ? VaR,描述的是在给定的概率水平下(即所 谓的“置信水平”),在一定的时间内,持 有一种证券或资产组合可能遭受的最大损失。 ? VaR值是下述问题的答案: ? 在较低的概率下,比如1%的可能性,既定 时间内实际损失可能超过的最大损失是多少? 在险价值的定义 ? 在险价值的计算,如在99%的置信水平下,市场 价值在1天内可能遭受的最大损失 P f(x) VaR=2.33σ 期望利润 1% 在险价值的计算 ? 计算VaR值,首先需要得出资产组合价值在既 定期间内的远期分布,或者说是资产组合价值 变动的分布。 ? 只有完成第一步之后,才能计算分布的均值以 及分割点。 ? 推导分布的基本方法3种: ? 历史模拟方法 ? 分析性的方差-协方差方法 ? 蒙特卡洛方法 ? 以上方法都包含两个基本步骤: VaR计算的基本步骤 (1)风险因子的选择 ? 资产组合价值的变动是一些能够影响每项工具 价格的市场因素的变动所造成的。 ? 风险因子的具体组成取决于资产组合的构成情 况,需要作出一定的判断。 (2)选择将市场风险因子变化纳入模型的方法 ? 非参数VaR ? 参数VaR 风险因子的选择 美元/人民币远期合约 ?美元/人民币远期汇率 美元/人民币期权 ?美元/人民币远期汇率 ?美元利率 ?人民币利率 ?美元/人民币汇率的波动率 将市场风险因子变化纳入模型的方法: 方差-协方差方法 ? 方差-协方差方法是一种参数VaR方法。 ? 参数VaR方法简化了VaR的推导,直接假定收益分 布为某种可分析的密度函数f(R);然后利用历史 数据来估计假定的分布函数的参数。 ? 分析性的方差-协方差方法假定风险因子服从对数 正态分布,即风险因子收益的对数服从正态分布。 ? 正态分布可以用两个参数来完全刻画,因此必须从 如下条件中推导出正态分布的均值和方差: ? 风险因子的多变量分布 ? 资产组合的构成 方差-协方差方法 ? 如果假定R服从均值为μ、标准差为σ的正态分布, 则: 1 ( R?? ) f ( R) ? ? 1 e 2 2?? 2 ?2 ? 如果c代表置信水平,如99%,则可以把R*界定为 下述形式: ? ? ? ? ( R ? ? ) ? 是一个服从标准正态分布N(0,1)的 变量。因此,R*的推导非常简单,查标准累积正态 函数表即可。 ?? Pr ob( R ? R? ) ? ? R? f ( R)dR ? Pr ob(? ? R? ? ? ) ? 1? c ? ? R*可以表示为: R? ? ? ? ? ? ? 根据VaR的定义: VaR ? (? ? R? ) ?V ? ?? ? ? ?V 常见的置信水平函数的临界值 ? R ?? c ?? ? 99.97% 99.87% -3.43 -3.00 99% 95 -2.33 -1.65 例:股票资产组合 一个由两种股票(微软和埃克森)构成的资产组 合,微软公司股票为n1股,股价为s1,埃克森公 司股票为n2股,股价为s2。则资产组合的价值为: V ? n1S1 ? n2 S2 (1)风险因子的选择:风险因子为两种股票各自 的价格s1、s2,因此资产组合的收益率 Rv为: Rv ? n1 S1 ? n2 S 2 ?S1 n S ?S 2 ? 2 2 v S1 v S2 ? ? 1 R1 ? ? 2 R2 ? ?? R i ?1 i 2 i 是第i种股票的收益率;? i 是资产组合中投资 于第i种股票的比重。 Ri (2)风险因子的分布:假定价格服从对数正态分布, 即时期(t-1,t)的收益服从正态分布: St St ? St ?1 ?St Rt ? ln( ) ? ln( 1 ? )~ St ?1 St ?1 St ?1 同时,假定两种股票的收益率服从正态分布, 均值、标准差分别为μi、σi,两种股票收益率间 的相关系数为ρ。 单个资产的VaR—1日VaR ? 每种股票收益的边际变化服从单变量正态分布: ?Si Ri ? ~ N ( ?i , ? i ) i ? 1,2 Si ? 在置信度99%的水平下,1日的VaR值为: VaRi (1;99) ? 2.33? i Si 从1日VaR值到10日VaR值 ? 1日VaR值的推导以资产组合价值的日分布为基础。 从理论上,可以根据资产组合价值的10日分布来 计算10日VaR值。 ? 一般,如果假定市场是有效的,资产在10天内的 每日收益Rt独立同分布,则可以从1日VaR直接推 导出10日或其他任何期间的VaR值。 ? 10日收益R(10)=∑Rt服从正态分布,均值和方差 分别为: 2 2 ? 则可以得到: ?10 ? 10? ? 10 ? 10? VaR(10; c) ? 10VaR(1; c) 单资产VaR的一般计算公式 ? 如果持有期为?t、置信度为c,则: VaR ? ?? (1 ? c) ? V ? ?t ? ? ? 其中,a(· )表示标准正态累积分布函数的逆函 数。 ? 如果持有期较长,收益率的均值发生漂移,则 VaR的计算就应当使用收益率的漂移来进行修正, 则: VaR ? ( ? ? R? ) ?V ? [ ? ? (1 ? ?t ) ? R? ] ?V ? ( ? ? ?t ? ? (1 ? c) ? ?t ) ? ? ? V 收益率漂移的修正 P f(x) VaR 收益率漂移μ ?t 1% 投资组合的VaR ? 收益正态分布资产的线性组合,也服从正态分 Rv ~ N ( ?v , ? v ) 布: 2 2 ? 其中:? v ? ? ?i ? v2 ? ?12? 12 ? ?2 ? 2 ? 2?1?2 cov( R1 , R2 ) i ?1 2 2 2 ? ?12? 12 ? ?2 ? 2 ? 2?1?2 ??1? 2 ? 则投资组合的99%置信水平下的1日和10日VaR 值分别为: VaRv (1;99) ? 2.33? vV VaRv (10;99) ? 10VaRv (1;99) ? 2.33 10? vV 投资组合VaR的一般计算公式 ? 如果持有期为?t、置信度为c,则: VaR ? ?? (1 ? c) ? ?t ? V ? ??? ? ? ? j ?1 i ?1 i j i M M j ?ij ? 如果持有期较长,则VaR使用收益率的漂移修正, 则: VaR ? V ? {?t ? ? ?i ?i ? ? (1 ? c) ? ?t ? i ?1 M ??? ? ? ? j ?1 i ?1 i j i M M j ?ij } 衍生产品的VaR ? 投资组合包括衍生产品的VaR估计的关键问 题是,即使标的资产的价格变化是正态分布 的,衍生产品本质上的非线性意味着衍生产 品价格变化不可能满足正态分布假定。 ? 如果考虑标的资产的变化非常小时,例如一 个非常短的时间间隔,则可以用期权的 Delta值近似估计期权价值变化的敏感性。 ? 对于较大的价格变动,则需要更高阶的近似。 ?:Delta值 ? 根据期权定价公式: C ? SN (d1 ) ? Ke N (d 2 ) ?C ?? ? N (d1 ) ? 则期权的Delta值为: ?S ? rt ? 若标的资产价格变化的标准差为σ,则期权头 寸价值变化分布的标准差为: ? c ? ?? ? N (d1 )? 衍生产品VaR计算:Delta逼近 ? 考虑一个含有单个衍生产品的投资组合S。 ? 一项期权或是期权的投资组合的敏感性,就是 Delta值。 ? 如果标的资产的分布的标准差是 S? ?t。 ? 那么,期权头寸价值变化分布的标准差为: ? ? ( S? ?t ) ? “?”必须为整个投资组合头寸的Delta值,即对于 特定标的资产所有相关期权的敏感性,等于标的 资产所有期权头寸的Delta值的总和。 包含期权的投资组合的VaR计算公式 ? 一个包含期权的投资组合的VaR为: VaR ? ?? (1 ? c) ? ?t ? M M ?? ? ? ? ? j ?1 i ?1 i j i j ?ij Si S j ? ?i为第i项资产价格变动一个单位时,导致投资组 合价值的变动。 ? 注:标的资产的?i为1。 Delta-Gamma逼近 ? 当标的资产的价格变动非常微小时,可以使 用Delta逼近,但更精确的逼近要引入高阶 项,加入Gamma或者凸性影响。 ? 假设投资组合包括一只股票期权,则标的资 产的价值变化?S和期权价值变化?V之间的关 系为: ?V 1 ? 2V ?V 2 ?S 2 ?S ?t ?S ? 由于假设: ? ??t ? ?? ?t ,则: S ?V 1 ?V ? ? ? ?S? ?t ? ?t (? ? ? ? S ? ?? 2 S 2 ? ?) ? ... ?S 2 2 ?V ? ?S ? (?S ) ? ?t ? ... ? 一阶展开表明期权价值的变化与标的资产的 变化成固定比例。 ? 二阶展开,由于存在确定性的漂移项S及期 权的θ值,二阶展开含有确定性的偏移项?V。 ? 更重要的是,Gamma(Г /γ )的作用是 引入?S的随机项构成中的非线性项。 衍生品VaR估计的实际困难 ? 估计非线性产品的VaR的显而易见的途径是 对于标的资产的非线性行为使用模拟,然后 运用估值公式和数值算法推断整个投资组合 价格变化的分布。 ? 这种方法最终可以估计出非线性产品的VaR, 但存在一个缺点,就是运算非常耗时。 ? 如果要进行成千上万此的模拟,每一次都必 须要解一个多因子偏微分方程,那么求解 VaR的时间花费将过长。 将市场风险因子变化纳入模型的方法: 历史模拟法 ? 历史模拟法是一种非参数VaR。 ? 历史模拟法不要求使用者做出风险因子分布的 分析性假定和理论分布的估计。 ? VaR的计算是以按照风险因子在特定时期内的 实际数据构造的历史分布为基础。 ? 历史模拟法要得出比较合理的历史分布,至少 需要2~3年的数据。 ? 历史模拟法是根据敞口的每日收益数据的 历史分布来计算VaR,没有对敞口收益的 分布函数做出任何假定。 历史模拟方法—简单处理 ? 历史模拟方法的原理很简单。 ? 首先,对特定历史期间(比如1~4年)内观察 到的相关市场价格和(风险因子)收益率的变 化进行分析。 ? 然后,从历史数据中推导出风险因子来构造资 产组合收益的分布。 ? 根据这个分布,可以计算资产组合的VaR值。 可以把模拟出的每个日变化值看成分布的一个 观测值。 历史模拟方法的步骤 ? 该方法涉及三个步骤: ? 选择特定时期内(比如250天)风险因子实 际日变化的样本; ? 将这些变化数据用于风险因子的现行价格, 然后重新估计现行资产组合的价值; ? 做出资产组合价值分布的图像,确认在99% 的置信水平下,第一个抽样分位数对应的 VaR值。 例:历史模拟 ? 假定一个3月期的美元/马克买入期权,首先判 断该敞口的市场风险因子为: ? 美元/马克汇率 ? 美元3月期利率 ? 马克3月期利率 ? 3月期美元/马克汇率的波动性 ? 简单起见,忽略利率风险因子的影响,只考虑 汇率及其波动性的影响。我们使用过去100天内 汇率及其波动性的日观测值,如表所示。 ? 然后,利用风险因子的历史分布来为敞口重新 定价。 过去100天的历史汇率 美元/马克汇率 天(t) 汇率波动性(σt) (FXt) -100 -99 -98 … -2 -1 1.3970 1.3960 1.3973 … 1.4015 1.4024 0.149 0.149 0.151 … 0.163 0.164 ? 利用布莱克-斯科尔斯期权定价模型,计算资产 的模拟价值序列 模拟价格C 模拟价格C(FX99;σ99)=1.75 模拟价格C(FX98;σ98)=1.73 模拟价格C(FX97;σ97)=1.69 …… 模拟价格C(FX2;σ2)=1.87 模拟价格C(FX1;σ1)=1.88 从资产现价(1.80美元)的 变化 -0.05美元 -0.07美元 -0.11美元 …… +0.07美元 +0.08美元 ? 最后一步是,通过描绘出资产组合收益在过去 100天的历史数据,或直接甄别资产组合价值变 化情况,来确认历史分布的第一个百分位数。 ? 下表是对资产组合价值变化的排序,根据这种 方法,可以得出第一个百分位数对应的数值是0.07。 模拟价格序列 100 99 98 从资产现价(1.80美元)的变化 …… 2 1 -0.11美元 -0.07美元 -0.05美元 …… +0.07美元 +0.08美元 ? 当然,最直观的是描绘出资产价值模拟序列的 (频率)分布图。 ? 历史模拟法可以很容易地推广到任何证券资产 组合。 损失大于-0.07的情况出 现的可能性不超过1% -0.07 0.00 历史模拟方法—Bootstrapping ? 自举法(Bootstrapping),是利用历史数据得到一系列资产 的随机运动的另一种方法。 ? 假设有N项资产的真实时间序列数据(假设是资产的日收益率 数据),自举法的实现过程: 1. 为每日的数据(向量)编制一项索引,该索引可以是随机分配; 2. 建立某种抽样规则,随机抽取一个索引,该索引指向的数据就 是第一个未来可能情况的模拟。 3. 重复这个过程,得到更多未来可能情况的模拟,直到满意的模 拟次数。 ? 自举法的优点在于可以捕捉资产间的任意相关性、允许资产价 格变化呈现非正态性,缺点是无法获得数据中的自相关性。 将市场风险因子变化纳入模型的方法: 蒙特卡洛模拟方法 ? 蒙特卡洛模拟方法是一种综合的方法。 ? 蒙特卡洛模拟方法可以通过选择任何形式的多 变量分布来进行,该方法比较灵活,能够允许 对具有厚尾和偏斜形状的分布进行分析,还能 模拟比较复杂的分布和均值反转的过程。 ? 蒙特卡洛方法的唯一的限制在于估计分布参数 (如均值、方差和协方差等)的能力。 蒙特卡洛方法 ? 蒙特卡洛方法是要重复地模拟哪些决定市场价格 和收益率的随机过程。每一个模拟值(情景)都 会得出资产组合价值在目标区间内的一个可能值。 如果我们得出的情景足够多,资产组合价值的模 拟分布将趋近于真实分布。 ? 蒙特卡洛模拟包括以下3个步骤: ? 首先,确认所有的相关风险因子; ? 第二,构造价格路径; ? 第三,估计资产组合在每个路径(情景)下的 价值。 作为业绩度量的VaR的应用 ? VaR的一个重要应用是度量银行、部门或单个交易员的业绩 表现。 ? 过去,“交易能力”只是单纯用盈利衡量;交易员的红利与 盈利相联系,这使得交易员愿意冒风险。 ? 考虑风险的衡量交易能力的方法是比较单位风险,即夏普比 率: 风险溢价 ? - r ? 波动性 ? ? 当使用VaR度量风险时,收益/损失作为收益的度量: 日收益 日VaR

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