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陈晓平:归纳合理性与大弃赌定理

归档日期:06-13       文本归类:置信测度      文章编辑:爱尚语录

  而不在于它必然导致金钱上的损失。事实上,金钱的损失与大弃赌的认识论意义是毫无关系的。为说明这一点,克里斯坦森构造了如下两个大弃赌

  一个是所谓的“双人大弃赌”。假定我和我的妻子出门购买东西。我对今天不下雨的置信度是75%,我的妻子比较保守,她对今天不下雨的置信度是50%。我们俩一同来到赌场庄家(a bookie)那里。我以75%的公平赌商为今天不下雨打赌,因此我出3元而庄家出1元。我的妻子以50%的公平赌商为今天下雨打赌,因此,她和庄家各出2元。尽管这两个赌博分别对我和我的妻子来说是公平的,但庄家却肯定能从这两个赌博中赢得1元钱,而无论今天是否下雨。因为,如果今天下雨,他赢我3元而输我妻子2元;如果今天不下雨,他输我1元而赢我妻子2元。由于我和我妻子的财产是共有的,这就意味着,我们俩合起来打了一个“大弃赌”。

  现在问题是,大弃赌的真正意义何在?如果说大弃赌的真正意义在于显示了一种实用上的不合理性即必然导致金钱上的损失,那么上述双人大弃赌也具有这种不合理性。但是,人们并不会因此指责我的置信度有什么不合理,也不会如此指责我的妻子,而且不会指责我们两人的置信度是不一致的;因为夫妻二人对未来事件持有不同的置信度不仅是常常发生的,而且是在情理之中的。由此可见,双人大弃赌与经典大弃赌(即静态大弃赌)有着本质的不同,其不同点在于,经典大弃赌所显示的是一个人的置信体系内的不一致性,而双人大弃赌显示的是两个人的置信体系之间的不一致性。前者是值得关注和避免的,而后者是不值得关注和避免的。这进而表明,大弃赌的真正意义在于,它所显示出的是一个人的置信体系内的不一致性,亦即认识论的不合理性,而不是它所导致的金钱上的损失亦即实用上的不合理性。

  另一个赌博例子是所谓的“先知先觉的大弃赌庄家”(the Prescient Dutch Bookie)。让我们设想一个先知先觉的庄家,他比经典大弃赌中所设想的庄家具有更强的透视力和预见力。他不仅知道你现在的置信度分布,而且知道你在一个小时之后的置信度分布。又假定你的置信度在一个小时之后确实发生了变化。这个庄家很容易构造一组赌博,其中有些赌博现在进行,并且对你现在的置信体系而言是公平的;有些赌博在一个小时之后进行,并且对你变化后的置信体系的公平的;然而,这组赌博合起来却使你处于必输境地,无论结果如何。

  如果上述的先知先觉的大弃赌庄家对我们的置信度的合理性有什么约束力的话,那么,我们的置信度无论在任何时候任何地点发生任何变化都是不合理的,因为只要你的置信度有任何变化,你就不可避免地遭遇这位先知先觉的庄家所设置的大弃赌。然而,事实上,没有人认为只有一成不变的置信体系是合理的,因而没有人会为这位先知先觉的大弃赌庄家而烦脑。原因何在呢?也许有人认为,原因在于这位先知先觉的庄家离现实太远,与人们的实际赌博行为没有直接关系。然而,经典大弃赌中所设想的庄家也是非常聪明因而是很不现实的,为什么大家却认为经典大弃赌对于置信体系的合理性有很大的约束力呢?克里斯坦森指出,真正的原因在于经典大弃赌所显示的是一个人在同一时间所具有的置信体系之内的不一致性,而上述先知先觉的大弃赌庄家所显示的是一个人在不同时间所具有的置信体系之间的不一致性。只有前一种不一致性才具有认识论上的不合理性,而后一种不一致性正如两个人的置信体系之间的不一致性是不足为怪的,根本构不成认识论上的不合理性。?

  现在让我们回顾前面所表述的刘易斯-泰勒关于动态大弃赌定理的证明。在此证明中,庄家的赌博体系包含三个赌博,其中(i)和(ii)是在获得证据e之前进行的,而(iii)是在获得证据e之后进行的。可见,刘易斯-泰勒的大弃赌正如先知先觉的庄家所设置的大弃赌是历时性的(diachronic)而不是共时性的(synchronic)。既然置信体系的历时性的不一致性是无害的甚至是必需的,那么,避免这种历时性的不一致性就不能成为一条合理性原则,这也就是说,动态大弃赌定理作为合理性原则的理由是不成立的。

  刘易斯和泰勒以及后来范弗拉森和索贝尔(J.H.Sobel)等人提出动态大弃赌定理是为了给动态假设Pre(h)=Pr(h/e)提供辩护,既然此定理作为合理性原则不成立,那么,他们对动态假设的辩护是不成功的。克里斯坦森告戒人们:“如果谁想要使得某些形式的条件化(即动态假设——引者注)成为一个合理性要求,那么,他们必须通过另外的途径来寻求这种辩护。”([5],p.247)。与此同时,他安慰人们,尽管动态大弃赌定理不成立,但静态大弃赌定理仍然成立;这是因为动态大弃赌是历时性,而静态大弃赌则是共时性的而且是针对同一个人的,而同一个人的共时性置信体系必须保持一致,否则,它在认识论上就是不合理的。

  笔者基本赞同克里斯坦森对动态大弃赌定理的否定和对静态大弃赌定理的肯定;也赞同他的这一观点:静态大弃赌的真正意义在于认识论上而不在于实用上,即在于它表明一个人在同一时刻的置信体系的内在不一致性,而不在于它必将导致金钱上的损失。正因为这样,只要一个人的置信体系使他面临潜在的的大弃赌就足以说明他的这一置信体系是不合理的,而无需等到他事实上进行一个大弃赌之后才能说明他的置信体系是不合理的。然而,由于许多作者把大弃赌的意义放在它将导致必输赌博上,这使得大弃赌定理的意义被曲解,因而受到一些本可避免的批评和指责。如伊尔斯(Ellery Eells)批评说,潜在的大弃赌并不导致金钱上损失,因为毕竟事实上没有一个超级赌博庄家无时无刻地监视着每个人的置信体系并且能够在这些置信体系违反概率演算公理时立即构造出一个大弃赌来。退一步讲,即使存在这样一个超级赌博庄家,许多人将出于对风险的厌恶或宗教上的顾虑或其他什么原因而拒绝进行所谓的“公平赌博”。(参见[7])应该说,伊尔斯的这一批评对于那些注重大弃赌的实用意义的人来说是正中要害的,然而,对于那些注重大弃赌的认识论意义的人来说则是不着边际的。

  克里斯坦森不仅注重大弃赌的认识论意义,而且他认为大弃赌所指出的置信体系的不一致性与标准的演绎不一致性是平行的,而且这正是大弃赌的发现者拉姆齐和菲耐蒂的本意所在。([5],p.238,注脚)至于这种平行性体现在哪里,克里斯坦森并未给出具体的说明。在此,笔者就这一问题给以补充。

  静态大弃赌定理是为了说明,一个人的置信体系遵守概率演算公理是使它避免潜在的大弃赌的充分必要条件,而一个人对一个命题A的置信度被定义为他为A的真实性而进行赌博的公平赌商。所谓公平赌商就是他所出的那部分赌金在赌金总额中所占的比例是公平的以致于他愿意与对方随时调换位置。从大弃赌定理的证明过程中我们看到,为了设置大弃赌,有时要求赌者以P(A)的赌商为A的真实性进行赌博,而有时则要求赌者以(1-P(A))的赌商为A的虚假性进行赌博;这后一要求相当于让赌者与其对手交换位置。赌者所以服从这一要求,就是因为他的置信度P(A)被定义为公平赌商。然而,由此得到的大弃赌却是不公平的,因为无论结果如何,大弃赌总使赌者输钱。这也就是说,大弃赌表明这个赌者的公平赌商是不公平的。这是一种语义分析性的不一致性,也就是克里斯坦森所说的与演绎不一致性相平行的不一致性。

  接下来,笔者打算进一步澄清静态大弃赌定理与归纳合理性之间的关系。拉姆齐和菲耐蒂及其后继者们都把避免大弃赌的原则看作一条合理性原则。从某种意义上讲这是不无道理的,因为不避免大弃赌意味着不避免逻辑矛盾,因而是不合理的。但是请注意,大弃赌之所以能够指示出一个人的置信体系含有逻辑矛盾,是因为他的置信度被定义为他的公平赌商,否则,即使他的置信体系不遵守概率演算公理,他也不会面临大弃赌的,因为他将不同意和对方交换位置。由此可见,大弃赌实际表明的是:如果置信度被定义为公平赌商,那么,要使置信体系避免逻辑不一致性,当且仅当,置信体系遵守概率演算公理。至于置信度为什么应当被定义为公平赌商,大弃赌定理对此什么都没有说,故需另作说明。

  在笔者看来,把置信度定义为公平赌商,这一作法的正当性来自人们的直觉或常识。从直觉或常识上讲,一个人对命题A的置信度愈高,他愿为A的真实性所下的赌注就愈高;反之,愈低。公平赌商是一种特殊的赌商,它使得赌者愿与对方交换位置。因此,公平赌商比一般赌商具有更强的可测度性。当一个人完全相信命题A的真实性,他关于A的线;反之,如果他完全不相信命题A的真实性,那么,他关于命题A的公平赌商就是0。他对命题A的其他置信度则使他的公平赌商介于1和0之间。鉴于这种情况,公平赌商就可望成为主观置信度的一种客观测度。

  我们知道,拉姆齐和菲耐蒂是把主观置信度作为对概率的一种解释,接着又把主观置信度解释为公平赌商。那么,主观置信度作为概率的一种解释是否恰当,就取决于公平赌商是否服从概率公理。大弃赌定理表明,不服从概率公理的“公平赌商”是不公平的,而服从概率公理的公平赌商不是不公平的。这也就是说,公平赌商是服从概率公理的,进而表明,主观置信度是服从概率公理的;这意味着,把主观置信度作为概率的一种解释是恰当的。

  笔者认为,大弃赌定理的真正意义在于表明,把置信度作为概率的一种解释是恰当的。而恰当的解释并不是唯一的,而可以有多种,如把一个事件的概率解释为该事件在试验序列中的相对频率,或者解释为该事件所包含的基本事件在全部基本事件中所占的比例,等等。这后两种解释分别是概率的统计解释和古典解释,其恰当性是很直观的,很容易证明它们都满足概率演算公理。比较而言,把概率解释为置信度,其恰当性不太直观也不易证明,这就使得大弃赌定理具有显著的重要性。当然,在某种意义上,恰当性也是一种合理性,但这种合理性与归纳法的合理性是两回事。否则,主张频率解释的莱欣巴赫等人也不必为归纳合理性而绞尽脑汁了,因为相对频率作为概率解释的恰当性几乎是一目了然的。

  动态假设关系到人们如何根据经验事实来修改对未来事件的主观置信度的问题,因此,动态假设的合理性问题是真正的归纳合理性问题。致力于证明动态大弃赌定理的人是在试图按照静态大弃赌定理的思路来为归纳合理性进行辩护,这条路注定是走不通的,其根本原因就在于他们把概率解释的恰当性与概率归纳的合理性混浠起来了。这进一步表明,克里斯坦森的断言是正确的,即:借助于动态大弃赌定理来为动态假设进行辩护是一条死胡同。([5]p.247)

  前面谈到,克里斯坦森令人信服地否定了动态大弃赌定理,并告戒人们要为动态假设(亦即条件化)的合理性进行辩护,就必须另劈新径。对此,豪森(Colin Howson)和厄巴赫(Peter Urbach)作出回应,他们对动态假设给出一个不借助于大弃赌的辩护。(参见[1],pp.103-105)?

  豪森-厄巴赫指出:在一定条件的限制下,动态假设P’(h)=P(h/e)可以成为合理性原则(在这里,P’(h)相当于验后概率Pre(h),即在e被证实为真之后对h的置信度。)这个条件是:在你观察到e为真之后你关于h相对于e的条件概率P’(h/e)与在此之前的条件概率P(h/e)相比没有发生变化,即P’(h/e)=P(h/e)。其理由是:当e被证实为线,这使得P’(h/e)=P’(h)。既然P’(h/e)=P(h/e),所以,P’(h)=P(h/e)。

  在这里,问题的关键在于,为什么应当使得P’(h/e)=P(h/e)。对此,豪森和厄巴赫在其补充说明中有所涉及。他们谈道:“科学证据几乎不可能演绎地将某些条件强加到你未来的置信状态中去。(点击此处阅读下一页)

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